Question

（2012•武汉模拟）已知函数f(x)=

lnx

x

-1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求函数f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）证明：对?n∈N^*，不等式ln(

2+n

n

)＜

2+n

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，由导数的正负明确的函数的单调区间；
（2）分类讨论，确定函数f（x）在[m，2m]上的单调性，从而可求函数的最大值；
（3）先确定函数在（0，+∞）上，恒有f（x）=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，即

lnx

x

≤

1

e

，从而可得x∈（0，+∞），恒有lnx≤

1

e

x，进而可得结论．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=

1-lnx

x2

令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜e；令f′（x）＜0，可得x＞e；
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；
（2）①当0＜2m≤e，即0＜m≤

e

2

时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2m）=

ln2m

2m

-1；
②当m≥e时，由（1）知，函数f（x）在[m，2m]上单调递减，
∴f（x）_max=f（m）=

lnm

m

-1；
③当m＜e＜2m，即

e

2

＜m＜e时，由（1）知，f（x）_max=f（e）=

1

e

-1
（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（e）=

1

e

-1
∴在（0，+∞）上，恒有f（x）=

lnx

x

-1≤

1

e

-1，即

lnx

x

≤

1

e

当且仅当x=e时，等号成立
∴?x∈（0，+∞），恒有lnx≤

1

e

x
∵

2+n

n

＞0，

2+n

n

≠e
∴ln

2+n

n

＜

1

e

×

2+n

n

∴ln(

2+n

n

)＜

2+n

n

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是确定函数的单调性，正确分类讨论．