Question

已知函数f（x）=4x²-kx-8，x∈[1，5]，其中k∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）具有单调性，求k的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小值（用含k的式子表示）．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=4x²-kx-8
∴函数f（x）的图象的对称轴是…（2分）
∵x∈[1，5]，函数f（x）具有单调性
∴或，即k≤8或k≥40
∴k的取值范围是k≤8或k≥40…（6分）
（Ⅱ）①当k≤8时，函数为单调增函数，f（x）_min=f（1）=-4-k；…（8分）
②当k≥40时，函数为单调减函数，f（x）_min=f（5）=92-5k；…（10分）
③当8＜k＜40时，函数在对称轴处取得最小，；…（12分）
综上所述，当k≤8时，f（x）_min=-4-k；
当k≥40时，f（x）_min=92-5k；
当8＜k＜40时，．
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=4x²-kx-8，可得函数f（x）的图象的对称轴是，利用x∈[1，5]，函数f（x）具有单调性，可得或，从而可求k的取值范围；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论进行分类讨论：①当k≤8时，函数为单调增函数，故f（x）_min=f（1）；②当k≥40时，函数为单调减函数，f（x）_min=f（5）；③当8＜k＜40时，函数在对称轴处取得最小，从而可得结论．
点评：本题重点考查二次函数的单调性，考查二次函数的最值，解题的关键是确定函数的对称轴，确定函数在指定区间上的单调性．