Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长1正四棱柱，O₁为A₁C₁与B₁D₁的交点．
（1）设AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成的角为arctan

2

2

，求该棱柱的侧面积；
（2）（理）若点C到平面AB₁D₁的距离为

4

3

，求四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．
（3）（文）设高AA₁=2，求四面体AB₁D₁C的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意，ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，则AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成角即为∠AB₁A₁，则AB₁的长度可求，进而可求该棱柱的侧面积；
（2）由图形借助面面垂直找到点C在平面AB₁D₁的位置，利用三角形的相似解出．
（3）由高AA₁=2，ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，则可得三棱锥A-A₁B₁D₁的体积，而四面体AB₁D₁C的体积为正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积减去四个三棱锥A-A₁B₁D₁的体积，故四面体AB₁D₁C的体积可求．

解答：解：（1）由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长1正四棱柱，则AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成的角为∠AB₁A₁，
又由AB₁与底面A₁B₁C₁D₁所成的角为arctan

2

2

，则tan∠AB1A1=

AA1

A1B1

=

2

2

，故AA1=

2

2

则该棱柱的侧面积为4×1×

2

2

=2

2

．
（2）∵O₁为B₁D₁的中点，而△AB₁D₁是以B₁D₁为底边的等腰三角形，
∴AO₁⊥B₁D₁∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁且交线为AO₁，
∴点C到平面AB₁D₁的投影点必落在A0₁上即垂足H，
在矩形AA₁C₁C中，利用R_t△AA₁O₁∽R_t△CHA 得到

A1O1

AA1

=

AH

CH

而AH =

AC2-CH2

=

2-( 4 3 )2

∴

A1O1

AA1

=

AH

CH

?

2 2

AA1

=

2 3

4 3

，则AA₁=2，
故正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=1×1×2=2．
（3）由于ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，
则三棱锥A-A₁B₁D₁的体积为

1

3

×

1

2

×A1B1×A1D1×AA1=

1

3

，
又由四面体AB₁D₁C的体积为正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积减去四个三棱锥A-A₁B₁D₁的体积
则四面体AB₁D₁C的体积为2×1×1-4×

1

3

=

2

3

，
故四面体AB₁D₁C的体积为

2

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、线面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力