Question

已知抛物线：和：的焦点分别为，交于两点（为坐标原点），且.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，点坐标为，求△面积的最小值.

Answer 1

（1）；（2）8.

试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、向量垂直的充要条件、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用抛物线的标准方程得到焦点的坐标，从而得到向量坐标，联立2个抛物线方程，解方程组，可求出A点坐标，从而得到向量的坐标，由于，所以，利用这个方程解出P的值，从而得到抛物线的方程；第二问，先设出过点O的直线方程，直线和抛物线联立，得到M点坐标，直线和抛物线联立得到N点坐标，由于，利用两点间距离公式得到3个边长，再利用基本不等式求面积的最小值.
试题解析：（1）由已知得：，，∴       1分
联立解得或，即，，
∴                                     3分
∵，∴ ，即，解得，∴的方程为．                                     5分
『法二』设，有①，由题意知，，，∴                                          1分
∵，∴ ，有，
解得，                                           3分
将其代入①式解得，从而求得，
所以的方程为．                                 5分
（2）设过的直线方程为
联立得，联立得      7分
在直线上，设点到直线的距离为，点到直线的距离为
则                               8分


   10分       
当且仅当时，“”成立，即当过原点直线为时，11分
△面积取得最小值．                          12分

『法二』联立得，
联立得，                   7分
从而，
点到直线的距离，进而
                   9分
令，有，    11分
当，即时，
即当过原点直线为时，△面积取得最小值．                        12分