Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的三个侧面的三条对角线AB₁、BC₁、CA₁中，若AB₁⊥BC₁，求证：A₁C⊥AB₁．(注：所谓正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱)

Answer 1

答案：
解析：

　　证明：将三棱柱补成直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁，如图所示．

　　于是，BC₁AD₁．

　　因AB₁⊥BC₁，故AB₁⊥AD₁，

　　从而△B₁AD₁为等腰三角形．

　　设A₁B₁＝a，则B₁D₁＝，

　　于是AB₁＝AD₁＝．

　　在Rt△AA₁B₁中，

　　．

　　设A₁C∩AO₁＝E，则E为A₁C的三等分点．

　　故A₁E＝A₁C＝．

　　又E为AO₁的三等分点，

　　故．

　　由于A₁E²＋O₁E²＝，

　　故A₁E⊥O₁E，即A₁C⊥AO₁．

　　又B₁D₁⊥A₁C₁，

　　故B₁D₁⊥A₁C．

　　从而A₁C⊥平面B₁AD₁．

　　所以A₁C⊥AB₁．