Question

15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB．
（1）求B；
（2）若b=2，a=$\sqrt{3}$c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得$\sqrt{3}$sinCsinB=cosBsinC，结合sinC≠0，可得$\sqrt{3}$sinB=cosB，又B∈（0，π），即可得解B的值．
（2）由余弦定理及已知可求a，c的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB及正弦定理，
可得：sinA=sinBcosC+$\sqrt{3}$sinCsinB，①
又sinA=sin（π-B-C）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
由①②得$\sqrt{3}$sinCsinB=cosBsinC，
又三角形中，sinC≠0，…（3分）
所以$\sqrt{3}$sinB=cosB，…（5分）
又B∈（0，π），
所以B=$\frac{π}{6}$．…（7分）
（2）△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{4}ac$．…（9分）
由余弦定理，b²=a²+c²-2accosB，得4=a²+c²-$\sqrt{3}ac$$a=\sqrt{3}c$，
得c²=4⇒c=2，$a=\sqrt{3}c=2\sqrt{3}$，…（12分）
所以△ABC的面积为$\sqrt{3}$．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是关键，属于基本知识的考查．