Question

已知（

3	x

+x²）²ⁿ的展开式的二项式系数和比（3x-1）ⁿ的展开式的系数和大992，
（1）求（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展开式的有理项；
（2）求（x²-

1

x

）ⁿ展开式中的系数最大的项和系数最小的项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质,二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）由题意可得2²ⁿ-（3-1）ⁿ=992，求得n=5．在（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展开式的通项公式中，令x的幂指数为整数，求得得r的值，可得（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展开式的有理项．
（2）求出（x²-

1

x

）ⁿ的展开式的通项公式，可得第r+1项的系数，再利用二项式系数的性质求得展开式中的系数最大的项和系数最小的项．

解答： 解：（1）由题意可得2²ⁿ-（3-1）ⁿ=992，解得2ⁿ=32，n=5．
∴（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•(

1

2

)r•x

5

2

-

3r

4

．
令

5

2

-

3r

4

 为整数，可得r=2，故（

x

+

1

2• 4 x

）ⁿ展开式的有理项为 T₃=

C

2 5

•

1

4

x=

5

2

x．
（2）求（x²-

1

x

）ⁿ=（x²-

1

x

）⁵展开式的通项公式为

C

r 5

•（-1）^r•x^10-3r，
故第r+1项的系数为

C

r 5

•（-1）^r，r=0，1，2，3，4，5，
利用二项式系数的性质可得r=2时，第r+1项的系数最大，此项即T₃=10x⁴；
检验可得r=3时，第r+1项的系数最小，此项即T₄=-10x．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．