Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是CC₁的中点；
（1）求异面直线DM与BD₁所成角的余弦值；
（2）求二面角C₁-BD₁-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：综合题,空间角

分析：（1）建立空间直角坐标系．给出各点的坐标，求出

BD1

=（-1，-1，1），

DM

=（0，1，

1

2

），利用向量的夹角公式，即可得到DM与BD₁所成角的余弦值；
（2）求出平面BCD₁、平面BC₁D₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求C₁-BD₁-C的大小．

解答： 解：（1）以D为原点，DC所在的直线为y轴，DA所在的直线为x轴，DD₁所在的直线 为Z轴建立空间直角坐标系．设棱长为1，则B（1，1 0），D₁（0，0，1），D（0，0，0），M（0，1，

1

2

）．

BD1

=（-1，-1，1），

DM

=（0，1，

1

2

）．
∴cos＜

BD1

，

DM

＞=

-1+ 1 2

3 • 1+ 1 4

=-

15

15

．
故异面直线DM与BD₁所成角的余弦值是

15

15

．
（2）C₁（0，1，1），C（0，1，0），
∴

BC

=（-1，0，0），

BD1

=（-1，-1，1），
设平面BCD₁的法向量为

n

=（x，y，z），则

-x=0 -x-y+z=0

，∴取

n

=（0，1，1）；
同理平面BC₁D₁的法向量为

m

=（1，0，-1），
∴cos＜

n

，

m

＞=-

1

2

，
∴＜

n

，

m

＞=120°，
∴二面角C₁-BD₁-C的大小为60°．

点评：本题考查异面直线DM与BD₁所成角，考查二面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，确定平面的法向量是关键．