Question

已知函数f（x）=（x-1）²，数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，且（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，数列{b_n}满足：b_n=（

3

4

）^n-1．
（1）求a_n．
（2）若数列{C_n}满足：C_n=

an

4n-1bn

，令：T_n=C₁+C₂+…+C_n，求使T_n＜λ（n∈N₊）成立的λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，再令n=1，2求得首项和公差，从而得出通项公式a_n．
（2）用错位相减法求出T_n的值，即可求使T_n＜λ（n∈N₊）成立的λ的取值范围．

解答： 解：（1）因为点（a_n+1，S_2n-1）在函数f（x）的图象上，所以a_n²=S_2n-1，
令n=1，2得

a 2 1 =S1 a 2 2 =S3

，即

a 2 1 =a1…① a 2 2 =3a1+3d…②

，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1；
（2）由条件可得：C_n=

an

4n-1bn

=

2n-1

3n-1

由T_n=C₁+C₂+…+C_n=1+

1

30

+3•

1

3

+…+

2n-1

3n-1

①
∴

1

3

T_n=1•

1

3

+…++

2n-3

3n-1

+

2n-1

3n

②
①-②得

2

3

T_n=2-

2n+2

3n

∴T_n=3-

n+1

3n-1

＜3，
∵T_n＜λ（n∈N₊）成立，
∴λ∈[3，+∞）．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式，数列的求和，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．