Question

经过椭圆

x2

2

+y²=1的左焦点F₁作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的左焦点F₁（-1，0），根据点斜率式设AB，方程与椭圆方程消去y，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦AB的长．

解答： 解：∵椭圆方程为

x2

2

+y²=1，
∴焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵直线AB过左焦点F₁倾斜角为60°，
∴直线AB的方程为y=

3

（x+1），
将AB方程与椭圆方程消去y，得7x²+12x+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-

12

7

，x₁x₂=

4

7

∴|x₁-x₂|=

(- 12 7 )2-4× 4 7

=

4 2

7

因此，|AB|=

1+3

•|x₁-x₂|=

8 2

7

．

点评：本题给出椭圆经过左焦点且倾角为30度的弦AB，求弦长．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．