Question

蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f（n）表示第n个图的蜂巢总数．
（1）试给出f（4），f（5）的值；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f（n）的表达式；
（3）证明：

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＜

4

3

．

Answer 1

考点：数学归纳法,归纳推理

专题：综合题,推理和证明

分析：（1）根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．
（2）根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n+1）-f（n）=6n，进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式；
（3）根据（2）中求得的f（n）可得

1

f(n)

的表达式，进而利用裂项的方法证明原式．

解答： （1）解：f（4）=37，f（5）=61．
（2）解：由于f（2）-f（1）=7-1=6，
f（3）-f（2）=19-7=2×6，
f（4）-f（3）=37-19=3×6，
f（5）-f（4）=61-37=4×6，
因此，有f（n+1）-f（n）=6n，
所以f（n）=[f（n）-f（n-1）]+[f（n-1）-f（n-2）]+…+[f（2）-f（1）]+f（1）
=6[（n-1）+（n-2）+…+2+1]+1=3n²-3n+1．
又f（1）=1=3×1²-3×1+1，所以f（n）=3n²-3n+1．
（3）证明：当k≥2时，

1

f(k)

=

1

3k2-3k+1

＜

1

3k2-3k

=

1

3

（

1

k-1

-

1

k

）
所以

1

f(1)

+

1

f(2)

+

1

f(3)

+…+

1

f(n)

＜1+

1

3

[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]=1+

1

3

（1-

1

n

）＜1+

1

3

=

4

3

．

点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之一，出等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等．