Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，a_n+1=a_n²+a_n，则

1

a1+1

+

1

a2+1

+

1

a3+1

+…+

1

a2014+1

的值所在区间是（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，2）
• C、（2，3）
• D、（3，4）

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系得到

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

，利用裂项法进行求和，即可得到结论．

解答： 解：由a_n+1=a_n²+a_n，
得a_n+1=a_n（a_n+1），
取倒数得

1

an+1

=

1

an(an+1)

=

1

an

-

1

an+1

，
则

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
即m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2013

=

1

a1

+

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2014

-

1

a2015

=4-

1

a2015

，
∵a_n+1=a_n²+a_n＞a_n，
∴

1

an+1

＜

1

an

∴1＜

1

a2015

＜

1

a2014

＜…＜

1

a1

=2，
即-1＞-

1

a2015

＞-2，
则3＞4-

1

a2015

＞2，
即2＜m＜3
故m所在的区间为（2，3），
故选：C

点评：本题主要考查递推数列的应用．根据递推公式求出

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

是解决本题的关键．难度较大．