Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件,根的存在性及根的个数判断

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，令f′（x）=0可得极值点，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；根据导数符号变化情况可判断极值并可求解；
（2）由（1）作出函数的草图，由图象可得a的范围．

解答： 解：（1）f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

∴当x＜-

2

或x＞

2

时，f′(x)＞0；当-

2

＜x＜

2

时，f′(x)＜0，
∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，单调递减区间是(-

2

，

2

)
当x=-

2

，f(x)有极大值5+4

2

；当x=

2

，f(x)有极小值5-4

2

．
（2）由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向

∴当5-4

2

＜a＜5+4

2

时，直线y=a与y=f(x)的图象有3个不同交点

点评：本题考查了函数的单调性及根的存在性及根的个数判断．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．