Question

f（x）是定义在（0，+∞），对于任意x＞1都有f（x）＞0，且f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求证f（x）在定义域（0，+∞）为增函数．
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x

）＜2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用函数的单调性的定义证明即可．
（Ⅱ）先求出f（36）=2，由f（x）的定义域为（0，+∞）且在其上为增函数，知x（x+3）＜36，即可解得答案．

解答： 解（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，f(

x2

x1

)＞0
∵f(

x

y

)=f(x)-f(y)，∴f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)＞0
即有f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在定义域（0，+∞）为增函数．
（Ⅱ）∵f（6）=1，而f(6)=f(

36

6

)=f(36)-f(6)，
∴f（36）=2f（6）=2
∴f(x+3)-f(

1

x

)＜2，
∵f（x）在定义域（0，+∞）为增函数．
∴

f(x(x+3))＜f(36) x＞0

?

x2+3x-36＜0 x＞0

从而得不等式的解集为：{x|0＜x＜

-3+3 17

2

}

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．