Question

已知数列{a_n}中，a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，设bn=

3an-2

an-1

．
（Ⅰ）试写出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，求证：Sn≤

(n+2)•2n-1-1

2n-1

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，写出数列{b_n}的前三项；
（Ⅱ）利用an+1=

4an-2

3an-1

，bn=

3an-2

an-1

，代入计算，即可证明数列{b_n}是等比数列，从而求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）利用放缩法，即可证明．

解答： （Ⅰ）解：由a1=2，an+1=

4an-2

3an-1

(n∈N*)，得a2=

6

5

，a3=

14

13

．
由bn=

3an-2

an-1

，可得b₁=4，b₂=8，b₃=16．…（3分）
（Ⅱ）证明：因an+1=

4an-2

3an-1

，故bn+1=

3an+1-2

an+1-1

=

12an-6-6an+2

4an-2-3an+1

=2•

3an-2

an-1

=2bn．…（6分）
显然an≠

2

3

，因此数列{b_n}是以

3a1-2

a1-1

=4为首项，以2为公比的等比数列-（7分）
由b_n=

3an-2

an-1

=4•2n-1=2n+1
解得an=

2n+1-2

2n+1-3

．…（8分）
（Ⅲ）证明：因为an=1+

1

2n+1-3

≤1+

4

2n+1

=1+

1

2n-1

（当且仅当n=1时取等号）---（12分）
故Sn≤

n

k=1

(1+

1

2k-1

)=n+

1-2-n

1-2-1

=

(n+2)•2n-1-1

2n-1

…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了放缩法，是中档题．