Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

)，
（1）若cos(ϕ+

π

2

)=-

2

2

，求ϕ的值；
（2）若f（x）最大值与最小值之差等于4，其相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，求函数f（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，求最小正实数m，使f（x）图象向右平移m个单位对应的函数是偶函数（只需写出m的值，可不写步骤）

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用诱导公式求得sinϕ 的值，结合|ϕ|＜

π

2

，可得ϕ=

π

4

．
（2）由f（x）=Asin（ωx+ϕ）的最大值与最小值之差等于4，可得A=2．再根据其相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，求得ω=3，可得函数的解析式．
（3）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得y=2sin（3x+

π

4

-3m）为偶函数，可得

π

4

-3m=kπ+

π

2

，k∈z，由此可得m的最小正值．

解答： 解：（1）∵cos(ϕ+

π

2

)=-

2

2

=-sinϕ，∴sinϕ=

2

2

．
结合|ϕ|＜

π

2

，可得ϕ=

π

4

．
（2）由f（x）=Asin（ωx+ϕ）的最大值与最小值之差等于4，可得A=2．
再根据其相邻两条对称轴之间的距离等于

π

3

，可得

1

2

•

2π

ω

=

π

3

，求得ω=3．
故函数的解析式为 f(x)=2sin(3x+

π

4

)．
（3）由于f（x）图象向右平移m个单位对应的函数是y=2sin[3（x-m）+

π

4

]=2sin（3x+

π

4

-3m）为偶函数，
∴

π

4

-3m=kπ+

π

2

，k∈z，求得m=-

k

3

π-

π

12

，故当k=-1时，得到m的最小正值为

π

4

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．