Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=3，S_m=15，S_m+1=24（m∈N^*）．
（1）求m的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

Sn

，若数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜

3

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a_n+1=S_n+1-S_n=9，从而利用前n项和公式求出m=3，再由通项公式求出d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得S_n=n²+2n，bn=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，由此利用裂项求和法能证明T_n＜

3

4

．

解答： 解：（1）∵a₁=3，S_m=15，S_m+1=24（m∈N^*），
∴a_n+1=S_n+1-S_n=9，
由Sm+1=

(m+1)(a1+am+1)

2

，得m=3，
设{a_n}的公差为d，由a_m+1=a₁+md，得d=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．
（2）由（1）得S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n，
∴bn=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)，
∴T_n＜

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．