Question

已知函数f（x）=

log2(1-x)，-1≤x＜k x3-3x+1，k≤x≤ 3

，若函教f（x）的值域是[-1，1]，则实数k的取值范围是（　　）

• A、[-1，0]
• B、[0，

  1

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，1]
• D、[1，

  3

  ]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：第一步：判断函数f（x）在不同区间上的单调性；
第二步：求出区间端点处及临界点的函数值；
第三步：作出f（x）在[-1，

3

]内的图象；
第四步：对临界值k进行讨论，即可找到使函教f（x）的值域为[-1，1]的k的值．

解答： 解：当-1≤x＜k时，f（x）=log₂（1-x）为减函数，且在区间左端点处有f（-1）=1．
令f（x）=-1，则x=

1

2

．
当k≤x≤

3

时，f（x）=x³-3x+1，
则f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0，则x=1，或x=-1，
所以函数在（-1，1）上为减函数，在[1，

3

]上为增函数，
从而函数有极小值f（1）=1³-3×1+1=-1，函数在右端点处的函数值为f(

3

)=1．
画出函数f（x）在[-1，

3

]内的大致图象，如右图所示．
根据函教f（x）的值域是[-1，1]，现对k进行讨论：
（1）若k＜0，则当k＜x＜0时，f（k）＞f（0）=0³-3×0+1=1，不合题意；
（2）若k＞

1

2

，则当

1

2

＜x＜k时，f(x)＜f(

1

2

)=log2(1-

1

2

)=-1，不合题意；
（3）若0≤k≤

1

2

，
①当-1≤x＜k时，-1＜f（x）≤f（-1）=1，符合题意，
②当k≤x＜

3

时，f（1）≤f（x）≤f(

3

)，即-1≤f（x）≤1，符合题意．
综合①、②知，0≤k≤

1

2

．
故选B．

点评：1．本题考查了分段函数的单调性，值域及图象，关键是弄清临界值k的变化情况．
2．对于分段函数的应用，常运用数形结合思想，借助图象对函数进行分段处理，同时也体现了分类讨论的思想．