Question

（1）证明不等式：若x，y＞0，则(x+y)(

1

x

+

1

y

)≥4
（2）探索猜想下列不等式，并将结果填在括号内：若x，y，z＞0，则(x+y+z)(

1

x

+

1

y

+

1

z

)≥

9

；
（3）试由（1）（2）归纳出更一般的结论：

若x₁，x₂，…，x_n＞0，则(x1+x2+…+xn)(

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

)≥n2

．

Answer 1

分析：（1）先将左边展开(x+y)(

1

x

+

1

y

)=2+

x

y

+

y

x

，再利用基本不等式即可证得；
（2）先将左边展开(x+y+z)(

1

x

+

1

y

+

1

z

)=3+

x

y

+

y

x

+

z

x

+

x

z

+

z

y

+

y

z

，再利用基本不等式即可证得；
（3）类比（1）（2）可得结论若x₁，x₂，…，x_n＞0，则(x1+x2+…+xn)(

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

)≥n2

解答：解：（1）证明：(x+y)(

1

x

+

1

y

)=2+

x

y

+

y

x

≥4
当且仅当

x

y

=

y

x

即x=y时，等号成立
（2）(x+y+z)(

1

x

+

1

y

+

1

z

)=3+

x

y

+

y

x

+

z

x

+

x

z

+

z

y

+

y

z

≥9，当且仅当x=y=z时，等号成立
（3）由（1）（2）归纳推广出更一般的结论：
若x₁，x₂，…，x_n＞0，则(x1+x2+…+xn)(

1

x1

+

1

x2

+…+

1

xn

)≥n2

点评：本题以证明不等式为素材，考查学生分析解决问题的能力，考查基本不等式的运用．