Question

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，证明数列{b_n}是等比数列
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，若对任意正整数n，S_n-（n²+241n）≥10m恒成立，求实数m的最大整数值．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意a_n+1=3a_n-4n+2，构造新的数列b_n=a_n-2n，利用等比数列的定义即可以判断；
（2）因为数列{a_n}的前n项和为S_n且由（1）知道a_n=2n+3ⁿ 利用分组求和法求和S_n，S_n-（n²+241n）=

3

2

(3n-1)-240n=

3

2

（3ⁿ-160n）-

3

2

，所以，当n∈{1，2，3，4，5，6}时，f（n）≥f（6）=-231，当n∈N^*且n≥7时，f（n）≥f（7）=1067，即可求实数m的最大整数值．

解答： （1）证明：由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又b₁=a₁-2n=5-2×2=1≠0，b_n=a_n-2n≠0，
所以，数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
（2）解：a_n-2n=3ⁿ⇒a_n=2n+3ⁿ，S_n=

3

2

(3n-1)+n（n+1），
S_n-（n²+241n）=

3

2

(3n-1)-240n=

3

2

（3ⁿ-160n）-

3

2

所以，当n∈{1，2，3，4，5，6}时，f（n）≥f（6）=-231，当n∈N^*且n≥7时，f（n）≥f（7）=1067
因为对任意正整数n，S_n-（n²+241n）≥10m恒成立，
所以，-231≥10m，
所以实数m的最大整数值是-24．

点评：此题考查了已知数列的前n项的和，求出通项，还考查了分组求和法求和，属于中档题．