Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面AEC．
（2）求异面直线BC₁与AC所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面平行的判定定理进行证明．
（2）连结AD₁、CD₁，可证出四边形ABC₁D₁是平行四边形，得BC₁∥AD₁，得∠D₁AC（或补角）就是异面直线AC与BC₁所成角．等边△AD₁C中求出∠D₁AC=60°，即得异面直线AC与BC₁所成角的大小．

解答： 解：（1）连结BD交AC于O，则O为BD的中点，
连EO，因为E是DD₁的中点，所以EO∥BD₁，
又EO?面AEC，BD₁?面AEC，
所以BD₁∥平面AEC．
（2）连结AD₁、CD₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB

∥

.

C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，得BC₁∥AD₁，
由此可得∠D₁AC（或补角）就是异面直线AC与BC₁所成角．
∵△AD₁C是等边三角形，
∴∠D₁AC=60°，即异面直线AC与BC₁所成角的大小为60°．

点评：本题在正方体中证明线面垂直，线面平行并求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．