Question

复数z=

(1+i)2+3(1-i)

2+i

，若z²+

a

z

＜0，求纯虚数a．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算,复数代数形式的乘除运算

专题：数系的扩充和复数

分析：利用复数的运算法则可得：复数z=1-i．设a=bi（b∈R），再利用复数的运算法则把z²+

a

z

＜0，化为-

b

2

+(

b

2

-2)i＜0，从而得到-

b

2

＜0，

b

2

-2=0，解得b即可．

解答： 解：复数z=

(1+i)2+3(1-i)

2+i

=

2i+3-3i

2+i

=

(3-i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

5-5i

5

=1-i．
设a=bi（b∈R），
∴z²+

a

z

=(1-i)2+

bi

1-i

=-2i+

bi(1+i)

(1-i)(1+i)

=-2i+

-b+bi

2

=-

b

2

+(

b

2

-2)i＜0，
∴-

b

2

＜0，

b

2

-2=0，解得b=4．
∴a=4i．

点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、复数为实数的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．