Question

如果x为实数，那么

x2

1+x4

≤

1

2

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：当x=0时，原不等式显然成立；当x≠0时，由基本不等式可得

1

x2

+x2≥2，可得

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

≤

1

2

，综合可得结论．

解答： 解：当x=0时，原不等式显然成立；
当x≠0时，则x²≠0，
分子分母同除以x²可得

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

，
由基本不等式可得

1

x2

+x2≥2

1 x2 •x2

=2，
∴

x2

1+x4

=

1

1 x2 +x2

≤

1

2

当且仅当

1

x2

=x²即x=±1时取等号．
综上可得对任意实数x，都有

x2

1+x4

≤

1

2

．

点评：本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质和分类讨论的思想，属中档题．