Question

已知函数f(x)=(x-m)2e

x

m

．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤

1

49e3

，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论m的范围从而得到函数的单调区间；
（Ⅱ）当m＞0时，不会有?x∈（0，+∞）f(x)≤

1

49e3

，当m＜0时，f(x)max=

4m2

e

≤

1

49e3

⇒-

1

14e

≤m＜0，从而求出m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

=0⇒x=±m，
①当m＞0时，f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≥0⇒x≤-m，
或x≥mf′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≤0⇒-m≤x≤m，
所以f（x）的单调增区间是（-∞，-m），（m，+∞），单调减区间是（-m，m）；
②当m＜0时，f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≥0⇒m≤x≤-m，
f′(x)=

1

m

(x2-m2)e

x

m

≤0⇒x≤m或x≥-m，
所以f（x）的单调增区间是（m，-m），单调减区间是（-∞，m），（-m，+∞）；
（Ⅱ）当m＞0时，∵f(m+1)=e

m+1

m

＞e＞

1

49e3

，
∴不会有?x∈（0，+∞），f(x)≤

1

49e3

，
当m＜0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，-m）单调递增，在（-m，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上，f(x)max=f(-m)=

4m2

e

，
由题意知：f(x)max=

4m2

e

≤

1

49e3

⇒-

1

14e

≤m＜0，
∴m的取值范围为[-

1

14e

，0)．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．