Question

证明下面两个命题：

（1）在所有周长相等的矩形中，只有正方形的面积最大；

（2）余弦定理：如右图，在中，、、所对的边分别为、、，则．

Answer 1

证明一：（1）设长方形的长，宽分别为，，由题设为常数

由基本不等式2：，可得：，

当且仅当时，等号成立，

即当且仅当长方形为正方形时，面积取得最大值．

证明二：（1）设长方形的周长为，长为，则宽为

于是，长方形的面积，

所以，当且仅当时，面积最大为，此时，长方形的为，即为正方形

（2）证法一：

    

   ．

故，．

证法二  已知中所对边分别为以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，

．

故，．

证法三  过边上的高，则

．

故，．