Question

已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）． （Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为T_n .
求证：．

Answer 1

Ⅰ）的通项公式：；（Ⅱ）a的值：（Ⅲ）同解析

（Ⅰ）∴
当时，
，即是等比数列． ∴；        
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，
则有而
故，解得，  
再将代入得成立，
所以．    
（III）证明：由（Ⅱ）知，所以

，  
由得
所以，     
从而

．
即．