Question

(本题满分15分) 如图，椭圆C: x²＋3y²＝3b² (b＞0).
(Ⅰ) 求椭圆C的离心率；
(Ⅱ) 若b＝1，A，B是椭圆C上两点，且| AB | ＝，求△AOB面积的最大值.

Answer 1

(Ⅰ)解：由x²＋3y²＝3b² 得，
所以e＝＝＝＝．                     
(Ⅱ)解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为(，)，此时S＝＝；
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
由 得x²＋3(kx＋m) ²＝3，
即 (1＋3k²)x²＋6kmx＋3m²－3＝0，又Δ＝36k²m²－4(1＋3k²) (3m²－3)＞0，
所以  x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，
(x₁－x₂)²＝(x₁＋x₂)²－4 x₁x₂＝，  ①
由 | AB |＝及 | AB |＝得
(x₁－x₂)²＝，                          ②
结合①，②得m²＝(1＋3k²)－．又原点O到直线AB的距离为，
所以S＝，
因此S²＝＝[－]＝[－(－2)²＋１]
＝－(－2)²＋≤，
故S≤．当且仅当＝2，即k＝±1时上式取等号．又＞，故S _max＝．

解析