Question

已知圆的半径为r,周长为2πr,我们能否利用定积分的知识来求其面积呢?

图1-6-1

Answer 1

思路:在求曲边梯形的面积时,我们发现当区间的划分很细时,每个小矩形是一小窄条,当Δx_i→0时,小窄条趋近于曲边梯形在此处的高线,此高线的长度是该处的函数,变化着的高线从a扫到b,扫过的平面部分就是曲边梯形(如图1-6-1).所以,定积分可以理解为函数值f(x)从a到b的无限叠加.我们把这种思想用于求圆的面积.

图1-6-2

探究:如图1-6-2,将半径n等分,各圆环的面积依次近似于2π,i=1,2,…,n.

圆面积S=所有圆环面积之和≈=I.

I=2πr²·(1+2+…+n)=2πr².

当n→∞时,S→πr².

由定积分可知,S==πr².

由此看出圆面是圆周从半径为0到半径r扫过的平面部分,换言之,圆面积是圆周长2πx(x从0到r)的无限叠加.