Question

（2012•绵阳二模）已知圆的半径为1，圆心C在直线l₁：y=

3

2

x上，其坐标为整数，圆C截直线l₂：x-3y+9=0所得的弦长为

2 15

5

（1）求圆C的标准方程；
（2）设动点P在直线l₀：x-y-2=0上，过点P作圆的两条切线PA，PB切点分别为A，B，求四边形PACB面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设圆心C的坐标为（2a，3a），a∈Z，利用圆C截直线l₂：x-3y+9=0所得的弦长为

2 15

5

，建立方程(

|2a-9a+9|

10

)2+(

15

5

)2=1，可求a=1，从而可求圆C的标准方程；
（2）S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=

|PC|2-1

，求出|PC|的最小值，即可求得四边形PACB面积的最小值．

解答：解：（1）设圆心C的坐标为（2a，3a），a∈Z，则由题意，圆C截直线l₂：x-3y+9=0所得的弦长为

2 15

5

可知：(

|2a-9a+9|

10

)2+(

15

5

)2=1，
解得a=1．
∴所求圆C的标准方程为：（x-2）²+（y-3）²=1．   （4分）
（2）∵CA⊥PA，CB⊥PB，|PA|=|PB|，|AC|=1，
∴S_{四边形PACB}=2S_△PAC=|AC|•|PA|=|PA|=

|PC|2-1

．
当PC⊥l₀时，|PC|取得最小值，
∴|PC|_min=

|2-3-2|

2

=

3 2

2

．
∴|PA|_min=

9 2 -1

=

14

2

．
即四边形PACB面积的最小值为

14

2

． （12分）

点评：本题重点考查圆的标准方程，考查四边形的面积，解题的关键是利用圆的性质，属于基础题．