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如图,四棱锥S-ABCD,ABCD为矩形,SDAD,SDAB,AD=a(a>0),AB=2AD,SD=AD,ECD上一点,CE=3DE.

(1)求证:AE⊥平面SBD.

(2)M,N分别为线段SB,CD上的点,是否存在M,N,使MNCDMNSB,若存在,确定M,N的位置;若不存在,说明理由.

 

(1)见解析 (2) 存在,理由见解析

【解析】(1)因为四棱锥S-ABCD,ABCD为矩形,SDAD,SDAB,

所以SD⊥平面ABCD.

BD就是SB在底面ABCD上的射影.

AB=2AD,ECD上一点,CE=3DE.

tanDAE==,tanDBA==,

∴∠DAE=DBA,同理∠BDA=AED,

∴∠DAE+BDA=90°.

AEBD,AESB.SBBD=B,

AE⊥平面SBD.

(2)假设存在MN满足MNCDMNSB.

建立如图所示的空间直角坐标系,

由题意可知,D(0,0,0),A(a,0,0),C(0,2a,0),B(a,2a,0),S(0,0,a),

=+t=(a,2a,0)+t(-a,-2a,a)=(a-ta,2a-2ta,ta)(t[0,1]),

M (a-ta,2a-2ta,ta),N(0,y,0),y[0,2a],

=(a-ta,2a-2ta-y,ta).

使MNCDMNSB,

可得

t=[0,1],y=a[0,2a].

故存在MN使MNCDMNSB.

 

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