Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为

2 5

5

，

3 10

10

．
（1）求cos2α；  
（2）求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析：由A和B的横坐标，以及单位圆的半径为1，根据锐角三角形函数定义一个角的余弦等于这个角的邻边比斜边求出cosα及cosβ的值，再由α、β为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα及sinβ的值，进而确定出tanα和tanβ的值，
（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cosα的值代入即可求出值；
（2）把所求式子利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα和tanβ的值代入即可求出值．

解答：解：∵A、B的横坐标分别为

2 5

5

，

3 10

10

，且单位圆的半径为1，
∴cosα=

2 5 5

1

=

2 5

5

，cosβ=

3 10 10

1

=

3 10

10

，
又α、β为锐角，
∴sinα=

1-cos2α

=

5

5

，sinβ=

1-cos2β

=

10

10

，…（3分）
∴tanα=

sinα

cosα

=

1

2

，tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

，…（5分）
（1）cos2α=2cos²α-1=2×（

2 5

5

）²-1=

3

5

；    …（9分）
（2）tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

1 2 - 1 3

1+ 1 3 × 1 2

=

1

7

．…（13分）

点评：此题考查了锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．