Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（1，0），且长轴长是短轴长的

2

倍．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，椭圆C与直线y=kx+1相交于两个不同的点A，B，线段AB的中点为P，若直线OP的斜率为-1，求△OAB的面积．

Answer 1

分析：（I）先根据题意得关于a，b，c的方程，进而结合椭圆中a，b，c的关系求得a，b，则椭圆方程可得．
（II）设A（0，1），B（x₁，y₁），P（x₀，y₀），联立

x2+2y2=2 y=kx+1

，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合求根公式，利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）由题意得c=1 ， a=

2

b，（2分）
又a²-b²=1，所以b²=1，a²=2．（3分）
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）设A（0，1），B（x₁，y₁），P（x₀，y₀），
联立

x2+2y2=2 y=kx+1

消去y得（1+2k²）x²+4kx=0（*），（6分）
解得x=0或x=-

4k

1+2k2

，所以x1=-

4k

1+2k2

，
所以B(-

4k

1+2k2

，

1-2k2

1+2k2

)，P(-

2k

1+2k2

，

1

1+2k2

)，（8分）
因为直线OP的斜率为-1，所以-

1

2k

=-1，
解得k=

1

2

（满足（*）式判别式大于零）．（10分）
O到直线l：y=

1

2

x+1的距离为

2

5

，（11分）
|AB|=

x 2 1 +(y1-1)2

=

2

3

5

，（12分）
所以△OAB的面积为

1

2

×

2

3

5

×

2

5

=

2

3

．（13分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．