Question

6．已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点．
（1）求证：AF⊥CD；
（2）求直线AC与平面CBE所成角大小的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD的中点G，连接AG、GF，由三角形中位线定理可得GF∥DE，再由AC=AD得AG⊥GD，结合已知得到DE⊥CD，即GF⊥CD，最后由线面垂直的判断和性质证得AF⊥CD；
（2）法一、建立空间直角坐标系G-xyz，利用空间向量求出$\overrightarrow{CA}$与平面CBE的法向量所成角的余弦值，从而得到直线AC与平面CBE所成角正弦值；
法二、由线面垂直的性质得AB∥DE，延长DA、EB交于点P，连结PC，可得PC∥AG．进一步得到PC⊥平面CDE．求出点A到平面PCE的距离$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．则直线AC与平面CBE所成角的正弦值可求．

解答 （1）证明：取CD的中点G，连接AG、GF，
则GF∥DE，
∵AC=AD，∴AG⊥GD，
∵DE⊥平面ACD，∴DE⊥CD，
∴GF⊥CD，
∴CD⊥平面AGF．
∵AF?平面AGF，∴AF⊥CD；
（2）解：法一、如图建立空间直角坐标系G-xyz，
则B（0，1，$\sqrt{3}$），C（-1，0，0），E（1，2，0），
$\overrightarrow{CB}=（1，1，\sqrt{3}），\overrightarrow{CE}=（2，2，0）$$\overrightarrow{CA}=（1，0，\sqrt{3}）$，
设平面CBE的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，则$\overrightarrow{n}=（1，-1，0）$，
∴$cos＜\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直线AC与平面CBE所成角的大小的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．
解法二、∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE．
延长DA、EB交于点P，连结PC，
∵AB=1，DE=2，∴A为PD的中点，
又G为CD的中点，∴PC∥AG．
∴PC⊥CD，PC⊥DE，∴PC⊥平面CDE．
∵点A到平面PCE的距离即为点D到平面PCE的距离的一半，即$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
设直线AC与平面CBE所成角为θ，
则$sinθ=\frac{h}{AC}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评 本题考查直线和平面垂直的性质，考查了线面角的求法，训练了利用空间向量求解线面角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．