Question

19．已知O为坐标原点，定点A（3，4），动点P（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y+1≥x}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，则向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{3}{5}$，$\frac{7}{5}$]
• B． [$\frac{3}{5}$，$\frac{9}{5}$]
• C． [$\frac{7}{5}$，$\frac{9}{5}$]
• D． [$\frac{3}{5}$，$\frac{11}{5}$]

Answer 1

分析 如图所示，动点P（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y+1≥x}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，即阴影△BCD．于是向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影=$\frac{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{|3x+4y|}{5}$，设3x+4y=t，1≤x≤2．化为直线l：y=$-\frac{3}{4}x$+$\frac{t}{4}$，当直线l经过点B时，可得t=3；当直线l经过点D时，可得t=11．可得t的范围．即可得出向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影范围．

解答 解：如图所示，
动点P（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y+1≥x}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，即阴影△BCD．
B（1，0），C（2，1），D（1，2）．
∴向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影=$\frac{|\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{|3x+4y|}{5}$，
设3x+4y=t，1≤x≤2．
化为直线l：y=$-\frac{3}{4}x$+$\frac{t}{4}$，
当直线l经过点B时，可得t=3；
当直线l经过点D时，可得t=11．
∴3≤t≤11．
∴向量$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影=$\frac{|3x+4y|}{5}$∈$[\frac{3}{5}，\frac{11}{5}]$．
故选：D．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、向量投影、线性规划有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．