Question

10．已知函数f（x）=|1-2x|-|1+x|
（Ⅰ）解不等式f（x）≥4；
（Ⅱ）若函数g（x）=|1+x|+a的图象恒在函数f（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分类讨论的思想方法，去绝对值，即可得到不等式组，即可得到所求解集；
（Ⅱ）由题意可得不等式a＞|1-2x|-2|1+x|恒成立，由绝对值不等式的性质，可得右边函数的最大值，进而得到a的范围．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≥4化为f（x）=|1-2x|-|1+x|≥4，则$\left\{\begin{array}{l}x＜-1\\ 1-2x+1+x≥4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}-1≤x＜\frac{1}{2}\\ 1-2x-1-x≥4\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}x≥\frac{1}{2}\\ 2x-1-1-x≥4\end{array}\right.$
解得x≤-2，或x≥6，
所以不等式的解集为{x|x≤-2，或x≥6}；
（Ⅱ）∵函数g（x）=|1+x|+a的图象恒在函数f（x）的图象的上方，
∴|1+x|+a＞|1-2x|-|1+x|，
即不等式a＞|1-2x|-2|1+x|恒成立，
令h（x）=|1-2x|-2|1+x|=|1-2x|-|2+2x|
由||1-2x|-|2+2x||≤|（1-2x）+（2+2x）|=3，
得h（x）_max=3，
所以实数a的取值范围a＞3．

点评 本题考查绝对值不等式的性质，以及不等式恒成立思想，注意运用参数分离和分类讨论的思想方法，属于中档题．