Question

20．已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且函数f（x+1）=f（x）+x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在x∈[-1，2]时的值域
（3）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$，判断函数g（x）是否存在零点，若存在零点求出所有零点，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）先设出函数的表达式，由题意得方程组解出即可；
（2）根据二次函数的性质，结合函数的单调性，从而求出函数的值域；
（3）g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$=0，可得$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$=0，解方程，可得函数g（x）的零点．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，则c=0，
由题意得：f（x+1）=f（x）+x+1，
∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得：a=b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，x∈[-1，2]，最小值为f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，最大值为f（2）=3，
∴值域是$[{-\frac{1}{8}，3}]$
（3）g（x）=f（x）-$\frac{1}{x}$=0，可得$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{x}$=0，
∴x³+x²-2=0
∴（x-1）（x²+2x+2）=0
∴x=1，即函数g（x）的零点是1．

点评 本题考查了二次函数的求解析式问题，考查了函数的值域问题，是一道中档题．