【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D是A1B1的中点.
(1)求证:A1C∥平面BDC1;
(2)若AB⊥AC,且AB=AC= AA1 , 求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
【答案】
(1)证明:(1)取AB的中点E,连结A1E,CE,DE,
在四边形A1EBD是平行四边形,即A1E∥BD,
同理,四边形CC1DE是平行四边形,即CE∥C1D,
又A1E∩CE=E,∴平面A1CE∥平面BDC1,
∵A1C平面A1CE,∴A1C∥平面BDC1
(2)解:法一:延长BD至F,连结A1F,使得A1F⊥DF,连结C1F,
∵AB⊥AC,∴A1B⊥A1C,
又A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面AA1B1B,∴∠A1FC1是所求二面角的平面角,
设AB=2,又AB=AC= ,∴A1D=1,AA1=3,∴BD= ,
∵△A1DF∽△BDB1,∴ ,∴A1F= ,
∵A1C1=2,∴ ,
∴cos∠A1FC1= = .∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值为 .
法二:棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,A1B1⊥A1C1,
∴A1B1,A1C1,AA1两两垂直,
以A1为坐标原点,建立如图所求的空间直角坐标系A1﹣xyz,
设AB=2,则B(3,2,0),D(0,1,0),C1(0,0,2),
∴ =(3,1,0), =(0,﹣1,2),
设平面BDC1的法向量 =(x,y,z),
则 ,取y=6,得 =(﹣2,6,3),
∵平面AA1DB的一个法向量 =(0,0,1)
∴cos< >= = ,
由图知二面角A﹣BD﹣C1的平面角为多姿多彩锐角,
∴二面角A﹣BD﹣C1的余弦值为 ./p>
【解析】(1)取AB的中点E,连结A1E,CE,DE,推导出A1E∥BD,CE∥C1D,从而平面A1CE∥平面BDC1,由此能证明A1C∥平面BDC1.(2)法一:延长BD至F,连结A1F,使得A1F⊥DF,连结C1F,推导出∠A1FC1是所求二面角的平面角,由此能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.(2)法二:以A1为坐标原点,建立如图所求的空间直角坐标系A1﹣xyz,利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C1的余弦值.
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【题目】甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图所示,设s1 , s2分别表示甲、乙两名运动员成绩的标准差, 、 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数,则有( )
A. ,s1<s2
B. ,s1<s2
C. ,s1>s2
D. ,s1>s2
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【题目】已知椭圆E: 的左、右焦点分别为F1 , F2 , 左、右顶点分别为A,B.以F1F2为直径的圆O过椭圆E的上顶点D,直线DB与圆O相交得到的弦长为 .设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点为O.
(I)求椭圆E的方程;
(II)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知1丈为10尺,该锲体的三视图如图所示,则该锲体的体积为( )
A.10000立方尺
B.11000立方尺
C.12000立方尺
D.13000立方尺
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【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2 , 上、下顶点分别为B2、B1 , O为坐标原点,四边形A1B1A2B2的面积为4,且该四边形内切圆的方程为x2+y2= .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若M、N是椭圆C上的两个不同的动点,直线OM、ON的斜率之积等于﹣ ,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由.
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【题目】已知函数f(x)= ,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是( )
A.(4,2018)
B.(4,2020)
C.(3,2020)
D.(2,2020)
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【题目】如图,在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2,BC=CD=1,顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C.
(1)求证:AD1⊥BC;
(2)若直线DD1与直线AB所成角为 ,求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值函数值.
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