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已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.直线l的参数方程是
x=-1+
3
5
t
y=-1+
4
5
t
(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=
2
sin(θ+
π
4
).
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于M、N两点,求M、N两点间的距离.
分析:(1)利用直角坐标与极坐标间的关系,将曲线C的极坐标方程:ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)化成直角坐标方程:x2+y2-x-y=0,问题得以解决;
(2)先将直线l的参数方程化成普通方程:4x-3y+1=0,由(1)得曲线C是以(
1
2
1
2
)为圆心,半径等于
2
2
的圆,结合点到直线的距离公式及圆的几何性质,可求得M、N两点间的距离.
解答:解:(1)将曲线C的极坐标方程化为ρ=
2
sin(θ+
π
4
)=cosθ+sinθ
两边都乘以ρ,得ρ2=ρcosθ+ρsinθ
因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y 2
代入上式,得方求曲线C的直角坐标方程为:x2+y2-x-y=0
(2)直线l的参数方程是
x=-1+
3
5
t
y=-1+
4
5
t
(t为参数),消去参数t得普通方程:4x-3y+1=0,将圆C的极坐标方程化为普通方程为:x2+y2-x-y=0,
所以(
1
2
1
2
)为圆心,半径等于
2
2

所以,圆心C到直线l的距离d=
|4×
1
2
-3×
1
2
+1|
5
=
3
10

所以直线l被圆C截得的弦长为:|MN|=2
(
1
2
2
)
2
-
9
100
=
41
5

即M、N两点间的距离为
41
5
点评:本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.设点O为坐标原点,直线l:
x=
2
2
t+4
y=
2
2
t
(参数t∈R)与曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.
(1)求直线l与曲线C的普通方程;
(2)设直线L与曲线C相交于A,B两点,求证:
OA
OB
=0

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已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合.设点O为坐标原点,直线l:
x=t
y=2+2t
(参数t∈R)与曲线C的极坐标方程为 ρcos2θ=2sinθ
(Ⅰ)求直线l与曲线C的普通方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,证明:
OA
OB
=0.

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本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
12
34

①求矩阵A的逆矩阵B;
②若直线l经过矩阵B变换后的方程为y=x,求直线l的方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(a为参数),点Q极坐标为(2,
7
4
π).
(Ⅰ)化圆C的参数方程为极坐标方程;
(Ⅱ)若点P是圆C上的任意一点,求P、Q两点距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲
(I)关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解不是空集,求a的取值范围.
(II)设x,y,z∈R,且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1
,求x+y+z的取值范围.

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(2013•许昌二模)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合,且两坐标系有相同的长度单位,圆C的参数方程为
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
(α为参数),点Q的极坐标为(2
2
7
4
π).
(Ⅰ)化圆C的参数方程为极坐标方程;
(Ⅱ)若直线l过点Q且与圆C交于M,N两点,求当|MN|最小时,直线l的直角坐标方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•大连二模)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系xOy的坐标原点O重合,极轴与x轴的非负半轴重合.曲线C1的参数方程为
x=-2+
10
cosθ
y=
10
sinθ
为参数),曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ.问曲线C1,C2是否相交,若相交请求出公共弦所在直线的方程,若不相交,请说明理由.

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