Question

若不等式mx²+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为

-1＜m≤0

．

Answer 1

分析：由不等式mx²+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，对系数m分类讨论，当m=0时恒成立，当m≠0时，利用二次函数的性质，列出关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围．

解答：解：不等式mx²+4mx-4＜0对任意实数x恒成立，
①当m=0时，-4＜0对任意实数x恒成立，
∴m=0符合题意；
②当m≠0时，则有

m＜0 △=(4m)2-4m×(-4)＜0

，
∴

m＜0 -1＜m＜0

，
∴-1＜m＜0，
∴实数m的取值范围为-1＜m＜0．
综合①②可得，实数m的取值范围为-1＜m≤0．
故答案为：-1＜m≤0．

点评：本题考查了函数恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．