Question

13．若函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x_o（a＜x_o＜b），满足f（x_o）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x_o是它的一个均值点．例如y=|x|是区间[-2，2]上的“平均值函数”，O就是它的均值点．
（I）若函数f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．
（II）若函数f（x）=lnx是区间[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x_o是它的一个均值点，要使得lnx_°＜$\frac{m}{{\sqrt{ab}}}$恒成立，参数m的取值范围是[1，+∞）．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=x²-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．
（2）猜想判断lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，换元转化为h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$，利用导数证明，求解出最值得出参数m的取值范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）=x²-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）内有实数根．
由x²-mx-1=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$，得x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是0＜m＜2．
（Ⅱ）由题知lnx₀=$\frac{lnb-lna}{b-a}$．
猜想：lnx₀＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
证明如下：$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
令t=$\sqrt{\frac{b}{a}}$＞1，原式等价于lnt²＜t-$\frac{1}{t}$，
2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，
令h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$（t＞1），
则h′（t）=$\frac{2}{t}$-1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=-$\frac{（t-1）^{2}}{t}$＜0，
∴h（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜h（1）=0，
得证$ln{x}_{0}＜\frac{1}{\sqrt{ab}}$，
∵lnx_°＜$\frac{m}{{\sqrt{ab}}}$恒成立，∴m≥1．
故答案为：（0，2）；[1，+∞）．

点评 本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题