Question

函数f(x)的定义域为R，并满足以下条件：
①对任意x∈R，有f(x)＞0；
②对任意x，y∈R，有f(xy)=[f(x)]^y；
③；
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)求证：f(x)在R上是单调增函数；
(Ⅲ)若a＞b＞c＞0，且b²=ac，求证：f(a)+f(c)＞2(b)。

Answer 1

(Ⅰ)解：令x=0，y=2，得f(0)=[f(0)]²，
∵f(0)＞0，
∴f(0)=1．
(Ⅱ)证明：任取x₁，x₂∈(-∞，+∞)，且x₁＜x₂，
设，
则p₁＜p₂，，
，p₁＜p₂，
∴f(x₁)＜f(x₂)，
∴f(x)在R上是单调增函数．
(Ⅲ)证明：由(Ⅰ)(Ⅱ)知f(b)＞f(0)=1，
∴f(b)＞1，
，
，
而，
∴，
∴f(a)+f(c)＞2f(b)。