Question

【题目】设f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2（a∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若a＞0，当﹣1≤x≤1时，f（x）≤0时恒成立，求a的取值范围．
（3）若当﹣1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由不等式f（x）≥0可得，（ax﹣2）（x+1）≥0．

当a=0时，不等式可化为﹣2（x+1）≥0，解得x≤﹣1；

当a≠0时，方程（ax﹣2）（x+1）=0有两根 ．

若a＜﹣2， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

若a=﹣2，不等式可化为﹣2（x+1）2≥0，解得x=﹣1；

若﹣2＜a＜0， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

若a＞0， ，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得 ；

综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}；当a＜﹣2时，不等式的解集为 ；当a=﹣2时，不等式的解集为{﹣1}；当﹣2＜a＜0时，不等式的解集为 ；当a＞0时，不等式的解集为 ．

（2）解：因a＞0，f（x）≤0故函数f（x）开口向上，根据二次函数的特征，若要﹣1≤x≤1时，f（x）≤0时恒成立，只需 即可．

因此，由 ，

解得0＜a≤2．

所以，a的取值范围为（0，2]．

（3）解：若当﹣1＜a＜1时，设g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1）

因此，当﹣1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立等价于当﹣1＜a＜1时，g（a）＞0恒成立．

当x=0时，g（a）=﹣2＜0，不符合题意；

当x=﹣1时，g（a）=0，不符合题意；

当x≠0，x≠﹣1时，只需 成立即可

即 ，解得﹣2≤x≤﹣1．

所以，x的取值范围为[﹣2，﹣1）

【解析】（I）根据a=0和a≠0以及根的大小讨论求解．（II）a＞0，当﹣1≤x≤1时，利用二次方程根的分布，可求a的取值范围．（III）当﹣1＜a＜1时，设g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成关于a的一次函数求x的取值范围．