Question

下列四个函数：①f（x）=x³+x²；②f（x）=x⁴+x；③f（x）=sin²x+x；④f（x）=cos2x+sinx中，仅通过平移变换就能使函数图象为奇函数或偶函数图象的函数为（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性

专题：函数的性质及应用

分析：利用导函数研究原函数的图象特征，用极值点坐标，找出可能的对称中心坐标或对称轴方程，再加以验证，从而判断函数是否符合题中要求．

解答：解：①∵f（x）=x³+x²，
∴f ′(x)=3x2+2x=3x(x+

2

3

)，
∴在(-∞，-

2

3

)上，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
在(-

2

3

，0)上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
猜测：函数图象的可能是中心对称图形，
由极值点坐标(-

2

3

，

4

27

)，(0，0)
得到函数图象的对称中心坐标为(-

1

3

，

2

27

)．
∴将y=f（x）向右平移

1

3

个单位，向下平移

2

27

个单位，得到的函数解析式为：
y=(x-

1

3

)3+(x-

1

3

)2-

2

27

，即y=x3-

1

3

x，
显然该函数为奇函数，故①中函数符合题意，排除选项B；
②∵f（x）=x⁴+x，
∴f ′(x)=4x3+1=4(x3+

1

4

)=4(x+

3	1 4

)(x2-

3	1 4

x+

3	1 16

)，
∴在(-∞，-

3	1 4

)上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在(-

3	1 4

，+∞)上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
猜测：函数图象的可能是轴对称图形，
对称轴方程为：x=-

3	1 4

．
∴将y=f（x）向右平移

3	1 4

个单位，得到的函数解析式为：
y=(x-

3	1 4

)4+(x-

3	1 4

)，即y=x4-4x3+6

3	1 16

x2-

3

4

3	1 4

．
显然该函数不是偶函数．故②中函数不符合题意，故排除选项A、C；
综上所述：本题应选D．

点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，主要是抓住函数的奇偶性和函数图象的对称性的关系，利用导函数研究图象的特征．本题思维质量较高，运算也有较高难度，属于难题．