Question

20．已知函数f（x）=|x-2|+|x-a|．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）不等式f（x）＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（2）通过讨论a的范围，求出满足条件的a的值即可．

解答 解：（1）由题知：|x-2|+|x-2|≥4，
∴|x-2|≥2，∴x-2≥2或x-2≤-2，
故不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．
（2）由题意知$\left\{\begin{array}{l}f（0）≥4\\ f（4）≥4\end{array}\right.$，代入得$\left\{\begin{array}{l}2+|a|≥4\\ 2+|{4-a}|≥4\end{array}\right.$，
解得a≤-2或a=2或a≥6，又|x-2|+|x-a|≥|2-a|．
①当a≤-2时，|2-a|≥4，所以f（x）≥4恒成立，
f（x）＜4解集为空集，不合题意；
②当a=2时，由（1）可知解集为（0，4），符合题意；
③当a≥2时，|2-a|≥4，所以f（x）≥4恒成立，
f（x）＜4解集为空集，不合题意；
综上所述，当a=2时，不等式f（x）＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是一道中档题．