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    若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
    （1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
    		ab
    ；
    （3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ，k∈Z，x∈R}    ．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．
    分析：（1）根据定义可得|x2-1|＞1再按照绝对值不等式的解法求解．
    （2）证明：易知∵
    b2
    a
    +
    a2
    b
    ＞ a+b＞2
    		ab
    成立，再两边同乘以ab得到要证明的问题．
    （3）根据定义可得f(x)=
    sinx，x∈(kπ+
    π
    4
    ，kπ+
    3π
    4
    )
    cosx，x∈(kπ-
    π
    4
    ，kπ+
    π
    4
    )
    ，再由正弦函数和余弦函数的性质进行探讨．
    解答：解：（1）根据定义可得：|x2-1|＞1
    ∴x2-1＞1或x2-1＜-1
    解得x∈(-∞，-
    		2
    )∪(
    		2
    ．+∞)
    （2）证明：欲证明a3+b3比a2b+ab2远离2ab
    		ab

    即证|a3+b3-2ab
    		ab
    |＞|a2b+ab2-2ab
    		ab
    |，又任意两个不相等的正数a、b
    即证|
    b2
    a
    +
    a2
    b
    -2
    		ab?
    |＞|a+b-2
    		ab?
    |
    由于a+b≥2
    		ab?
    ，
    b2
    a
    +
    a2
    b
    -(a+b)=
    (a+b)(a2+b2-2ab)
    ab
    ＞0
    ∴
    b2
    a
    +
    a2
    b
    ＞a+b＞2
    		ab

    即证|
    b2
    a
    +
    a2
    b
    -2
    		ab?
    |＞|a+b-2
    		ab?
    |    成立
    ∴|a3+b3-2ab
    		ab
    |＞|a2b+ab2-2ab
    		ab
    |
    （3）由题意知f(x)=
    sinx，x∈(kπ+
    π
    4
    ，kπ+
    3π
    4
    )
    cosx，x∈(kπ-
    π
    4
    ，kπ+
    π
    4
    )

    性质：①函数是偶函数；
    ②周期T=
    π
    2

    ③在区间[
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ，
    kπ
    2
    +
    π
    2
    ]    k∈z是增函数，在[
    kπ
    2
    -
    π
    4
    ，
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ]    k∈z是减函数
    ④最大值为1，最小值为
    		2
    2

    ⑤定义域D={{x|x≠
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ，k∈Z，x∈R}
    点评：本题通过新定义来考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，构造新函数并研究其性质，设置新颖，考查丰富，是一道好题．
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    若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
    （1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
    		ab
    ；
    （3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y靠近m．
    （Ⅰ）若x+1比-x靠近-1，求实数x的取值范围；
    （Ⅱ）①对任意x＞0，证明：ln（1+x）比x靠近0；②已知数列{an}的通项公式为an=1+21-n，证明：a1a2a3…an＜2e．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•烟台一模）若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．若x2-1比1远离0，则x的取值范围是
    (-∞，-
    		2
    )∪(
    		2
    ，+∞)
    (-∞，-
    		2
    )∪(
    		2
    ，+∞)
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x，y，m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y更接近m．
    （1）若x2比4更接近1，求x的取值范围；
    （2）a＞0时，若x2+a比（a+1）x更接近0，求x的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
    （1）若2x-1比3接近0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
    		ab
    ．

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