Question

【题目】已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）

又 ，

解得b=0，a=﹣3或a=1

（2）解：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，等价于导函数f′（x）[是二次函数]，在（﹣1，1有实数根但无重根．

∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，

令f′（x）=0得两根分别为x=a与x=

若a= 即a=﹣ 时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，

当两者不相等时即a≠﹣ 时

有a∈（﹣1，1）或者 ∈（﹣1，1）

解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣

综上得参数a的取值范围是（﹣5，﹣ ）∪（﹣ ，1）

【解析】（1）先求导数：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b等式解之，从而问题解决．（2）根据题中条件：“函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，”等价于“导函数f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（﹣1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；
【考点精析】利用导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．