Question

【题目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1，

当 单调递减，

当 单调递增，

① ，没有最小值；

② ，即 时， ；

③ ，即 时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt

所以

（2）解：2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则 ，

设 ，

则 ，

①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，

②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，

所以h（x）min=h（1）=4，

对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

∵g（x）=﹣x2+ax﹣3．所以a≤h（x）min=4；

【解析】（1）f'（x）=lnx+1，当 单调递减，当 单调递增，由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，知 ，设 ，则 ，由此入手能够求出实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．