Question

【题目】已知圆C的参数方程为 （θ为参数），若P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l （Ⅰ）求直线l的极坐标方程
（Ⅱ）求圆C上到直线ρ（cosθ+ sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程为 （θ为参数），

∴圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣ ）2=4，

∵P是圆C与x轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l

由题设知，圆心C（1， ），P（2，0），

∠CPO=60°，故过P点的切线的倾斜角为30°，

设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，

则在△PMO中，∠MOP=θ，∠OMP=30°﹣θ，∠OPM=150°，

由正弦定理得 ，

∴ ，

∴直线l的极坐标方程为ρcos（θ+60°）=1．

（Ⅱ）∵直线ρ（cosθ+ sinθ）+6=0，

∴直线的直角坐标方程为x+ y+6=0，

设圆上的点M（1+2cosθ， ），

点M到直线的距离：

d= = ，

∴当θ= 时，点M到直线的距离取最大值 ．此时M（2，2 ），

∴圆C上到直线ρ（cosθ+ sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标为（2，2 ）．

【解析】（Ⅰ）圆C的参数方程消去参数θ，得圆C的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣ ）2=4，由题设知，圆心C（1， ），P（2，0），过P点的切线的倾斜角为30°，设M（ρ，θ）是过P点的圆C的切线上的任一点，由正弦定理得 ，由此能求出直线l的极坐标方程．（Ⅱ）直线的直角坐标方程为x+ y+6=0，设圆上的点M（1+2cosθ， ），求出点M到直线的距离d= ，当θ= 时，点M到直线的距离取最大值，由此能求出圆C上到直线ρ（cosθ+ sinθ）+6=0的距离最大的点的直角坐标．