Question

8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分别为A₁B，B₁C₁的中点
（Ⅰ）求证：MN∥平面A₁ACC₁
（Ⅱ）已知A₁A=AB=2，BC=$\sqrt{5}$，∠CAB=90°，求三棱锥C₁-ABA₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设K是B₁C的中点，分别在△AB₁C，△B₁C₁C中利用三角形中位线定理可得MK∥AC，KN∥CC₁，再由线面平行的判定可得MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）由已知求得△ABC的面积，然后利用${V}_{{C}_{1}-AB{A}_{1}}=\frac{1}{3}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$求得答案．

解答 （Ⅰ）证明：设K是B₁C的中点，分别在△AB₁C，△B₁C₁C中利用三角形中位线定理可得：
MK∥AC，KN∥CC₁，
又MK∩NK=K，∴平面MNK∥平面AA₁C₁C，
又MN?平面MNK，∴MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）解：∵∠CAB=90°，AB=2，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=1$，则S_△ABC=1，
∵ABC-A₁B₁C₁是直棱柱，∴高为AA₁=2，
∴棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=2$．
∴${V}_{{C}_{1}-AB{A}_{1}}=\frac{1}{3}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．