Question

11．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为0的常数，n∈N），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}-c}{n-{c}^{n}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，证明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式、“累加求和”即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式

解答 （1）解：由已知a₂=2+c，a₃=2+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
则（2+c）²=2（2+3c）得c=2，从而a_n+1=a_n+2n，
n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+A+（a_n-a_n-1）
=2+2×1+2×2+…+2×n=n²-n+2，
n=1时，a₁=2也适合上式，因而a_n=n²-n+2．
（2）证明：b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{n-{2}^{n}}$=$\frac{n-1}{{2}^{n}}$，
T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{0}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{0}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-2}{{2}^{n}}$+$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴T_n＜1成立．

点评 本题考查了递推关系、“累加求和”方法、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．